Question

6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为$\sqrt{5}$-1．其中正确的说法是②④．（把你认为正确的说法的序号都填上）

Answer 1

分析 根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．

解答 解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为$\frac{1}{4}$圆，
圆弧的长=$\frac{1}{4}×π$×2=$\frac{π}{2}$，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
CG的最小值为OC-OG=$\sqrt{5}$-1，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为②④．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．