Question

1．已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N．
求证：
（1）△AME∽△NMD； 
（2）ND²=NC•NB．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，得到∠1+∠8=90°，根据EF是AD的垂直平分线，得到∠4+∠8=90°，等量代换得到∠1=∠4，由于∠1=∠2，于是得到∠2=∠4，即可得到结论；
（2）根据EF是AD的垂直平分线，得到AN=DN，∠3=∠4，通过∠ANC=∠BNA，∠NAB=∠NCA=90°，得到△NAC∽△NBA，于是得到$\frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NA}$，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠8=90°，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠4+∠8=90°，
∵∠5=∠6=90°，
∴∠1=∠4，
∵AD∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴△AME∽△NMD； 

（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AN=DN，∠3=∠4，
∵∠2=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴∠3+∠4+∠7=90°，
∴∠1+∠2+∠7=90°，
∴∠NAE=90°，
∵∠ANC=∠BNA，∠NAB=∠NCA=90°，
∴△NAC∽△NBA，
∴$\frac{NA}{NB}=\frac{NC}{NA}$，
∴NA²=NB•NC，
∵NA=ND，
∴ND²=NB•NC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．