Question

14．如图1，二次函数y=ax²+bx的图象过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图2，设抛物线与x轴的另一个交点为C，点M是线段AC上的一个动点，过点M作直线MN平行于y轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；
（3）点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，写出点P的坐标．
（备注：两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的距离为|PQ|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）由对称轴和A点坐标可得到关于a、b的方程组，可求得二次函数的表达式；
（2）可先求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，可设出M点的坐标，从而可表示出MN的长，利用二次函数的性质可求得MN的最大值；
（3）可设P（x，0），则可用x表示出PA、PB及AB的长，分PA=PB、PA=AB和PB=AB三种情况，分别得到关于x的方程，可求得P点的坐标．

解答 解：
（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{a-b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=x²-2x；

（2）在y=x²-2x中，令y=0可得0=x²-2x，解得x=0或x=2，
∴C（2，0），
设直线AC解析式为y=kx+s，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-k+s=3}\\{2k+s=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-x+2，
∵点M是线段AC上的一个动点，
∴可设M（t，-t+2）（-1≤t≤2），则N（t，t²-2t），
∴MN=-t+2-（t²-2t）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，MN有最大值$\frac{9}{4}$；

（3）设P（x，0），
∵A（-1，3），B（1，-1），
∴PA=$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$，PB=$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$，AB=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△PAB为等腰三角形，
∴有PA=PB、PA=AB和PB=AB三种情况，
①当PA=PB时，则$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$，解得x=-2，此时P点坐标为（-2，0）；
②当PA=AB时，则$\sqrt{{x}^{2}+2x+10}$=2$\sqrt{5}$，解得x=-1+$\sqrt{11}$或x=-1-$\sqrt{11}$，此时P点坐标为（-1+$\sqrt{11}$，0）或（-1-$\sqrt{11}$，0）；
③当PB=AB时，则$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$=2$\sqrt{5}$，解得x=1+$\sqrt{19}$或x=1-$\sqrt{19}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{19}$，0）或（1-$\sqrt{19}$，0）；
综上可知P点坐标为（-2，0）或（-1+$\sqrt{11}$，0）或（-1-$\sqrt{11}$，0）或（1+$\sqrt{19}$，0）或（1-$\sqrt{19}$，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中利用条件得到关于a、b的方程组是解题的关键，在（2）中用M点的坐标表示出MN的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出PA、PB及AB的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．