Question

（2008•宝安区二模）已知：如图1，AB为⊙O的直径，M是

BC

的中点，AM交BC于D，MD=1，DA=2．
（1）求证：△MBD∽△MAB；
（2）求∠A的度数；
（3）延长AB到E，使BE=BO，连接ME、MC，如图2，试证明四边形MCBE是平行四边形．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理由弧MC=弧MB得到∠MBC=∠MAB，根据相似三角形的判定即可得到△MBD∽△MAB；
（2）利用△MBD∽△MAB得到MB：MA=MD：MB，而MD=1，DA=2，可求出MB=

3

，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AMB=90°，利用三角函数可求出∠MBD=30°，则∠A=30°；
（3）连OM，由于M是

BC

的中点，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，且BM=MC，又∠A=30°，则∠MOB=2∠A=60°，所以△MOB为等边三角形，则OB=BM，∠OBD=30°，而∠C=∠A=30°，OB=BE，于是BE=MC，BE∥MC，根据平行四边形的判定即可得到结论．

解答：（1）证明：∵M是

BC

的中点，即弧MC=弧MB，
∴∠MBC=∠MAB，
而∠BMD=∠AMB，
∴△MBD∽△MAB；

（2）解：∵△MBD∽△MAB，
∴MB：MA=MD：MB，
而MD=1，DA=2，
∴MB：3=1：MB，
∴MB=

3

，
∵AB为直径，
∴∠AMB=90°，
在Rt△MBD中，∵tan∠MBD=

MD

MB

=

3

3

，
∴∠MBD=30°，
∴∠A=30°；

（3）证明：连OM，
∵M是

BC

的中点，
∴OD垂直平分BC，
∴BM=MC，
∵∠A=30°，
∴∠MOB=2∠A=60°，
∴△MOB为等边三角形，
∴OB=BM，∠OBD=30°，
∴OB=BE，
而∠C=∠A=30°，
∴∠C=∠OBD=30°，
∴BE∥MC，
∴四边形MCBE是平行四边形．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理和圆周角定理等是解决圆的综合题的关键；运用相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解决几何计算常用的方法；对于综合题一般采用各个击破的方式解决．