Question

如图①，AB为⊙O的直径，AB=2

5

，AD与⊙O相切于点A，过点B作BC∥AD，DO平分∠ADC．
（1）判断DC与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式；
（3）若⊙O与直线DC相切，连接点A与切点E并延长交BC延长线于点G，当AD=2时，求线段EG的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）可作OE⊥DC，要证DC与⊙O相切，只要证出AO=OE即可，运用角的平分线的性质可证出AO=OE．
（2）由切线性质可得出DC的关系式，再由DF⊥BC，可得四边形ABFD是矩形，从而得出DF、FC，在Rt△DFC中，可运用勾股定理求出y与x的函数关系式．
（3）由⊙O与直线DC相切，利用（2）中的函数关系式求出CG，再在Rt△ABG中，运用勾股定理求出AG，再运用△ADE∽△GCE列出比例式，即可求出EG的长．

解答：
解：（1）如图1，作OE⊥DC．
∵AD与⊙O相切
∴AD⊥AB
∴∠A=90°
∵DO平分∠ADC
且AD⊥AB，OE⊥DC
∴OE=AO=r
∴DC与⊙O相切
（2）如图1，作DF⊥BC

∵BC∥AD
∴∠B=90°
∴BC与⊙O相切
∵AD与⊙O相切，DC与⊙O相切
∴AD=DE
同理得：BC=CE
∴DC=DE+EC=AD+BC=x+y
∵DF⊥BC
∴∠DFB=90°
∵∠A=90°，∠B=90°，∠DFB=90°
∴四边形ABFD是矩形
∴DF=AB=2

5

，FC=BC-AD=y-x
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC
∴（x+y）²=（y-x）²+（2

5

）
∴y=

5

x

，
（3）如图2，

∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA
∵BG∥AD
∴∠DAE=∠G
∵∠CEG=∠DEA
∴∠CEG=∠G
∴EC=CG
∵AD=2
∴由（2）得BC=EC=CG=2.5
在Rt△ABG中，AG²=AB²+BG²，
∴AG=3

5

，
∵BG∥AD
∴△ADE∽△GCE
∴

AD

CG

=

AE

EG

，即

2

2.5

=

3 5 -EG

EG

∴EG=

5 5

3

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是运用切线的性质及勾股定理求线段．