Question

观察下列各个等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出你的推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，设△OBA₁、
△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面积依次为S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．
①当n=2010时，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为．
∴；
∴=．
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=+-；
②∵；
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．
分析：（1）由n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子相加推导出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．
（2）①结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积．
点评：本题通过推导公式考查了二次函数图象上点的坐标特征，题目新颖，有一定的难度．