Question

【题目】已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；

（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；

（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）；（3）Q点坐标为（1，0）或（，0）；（4）存在；M点坐标为M（0，﹣8）.

【解析】

（1）求解抛物线的解析式关键是找点，然后将点的坐标带入解析式即可求出解析式；已知B点的坐标，已知A点是直线与抛物线的交点且交于y轴，即可通过直线的解析式求出A点坐标，带入A,B两点坐标即可；（2）最值问题的关键是找对称，通过C点作关于直线AE的对称点F，再连接BF，交AE与点P，此时△PBC周长最小；再求出BF的解析式，再求出与直线AE的交点即可；（3）设出P点的坐标，然后表示出AP、EP的长，求出AE 的长，利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，求得其横坐标即可；（4）设出M点的坐标，利用C点的距离与到直线AD的距离恰好相等，得到有关M点的纵坐标的方程解得M点的纵坐标即可。

解：（1）∵直线与y轴交于A，

∴A点的坐标为（0，2），

∵B点坐标为（1，0）．

∴ 解得：

∴；

（2）作出C关于直线AE的对称点F，连接BF，CF分别交AE与点P,M，连接DF.过点F做FN垂直于X轴,交X轴于点N.

由题意得点C的坐标为，点D的坐标为

∵点F是点C关于直线AE的对称点,

∴AE垂直平分CF,

∴直线AE与直线CF的解析式的k值之积为-1,可设直线CF的解析式为

将C点坐标带入可求得CF的解析式为:

将CF和AE的解析式联立可得 ，解得

从而求出直线AE与CF的交点M坐标为 ，

∵M点为CF中点，

所以F点的纵坐标为，即

∵△CDF为等腰三角形，∴

∴在直角三角形DFN中，由勾股定理得：

∴得

∴N点横坐标为

∴F点的坐标为

∴直线BF的解析式为：，

，

可得：P（，）；

（3）根据题意得：，

解得：或，

∴A（0，2），E（6，5），

∴，

设Q（x，0），

①若Q为直角顶点，

则，

即，

此时x无解；

②若点A为直角顶点，

则，

即，

解得： ，

即Q（1，0）；

③若E为直角顶点，

则,

即，

解得：，

此时求得Q（ ，0）；

∴Q（1，0）或（，0）

（4）假设存在，设M坐标为（0，m），则，

∵，，，

∴，

∴当时，满足条件，

∴在直角三角形AOD中，根据勾股定理得：，且，，

∵，

∴根据勾股定理得：，

即，

解得，

则M（0，﹣8）.