Question

阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．

图（1）：延长DE到F使得EF=DE
图（2）：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图（3）：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F．

Answer 1

分析：如图（1）延长DE到F使得EF=DE，证明△DCE≌△FBE，得到∠CDE=∠F，BF=DC，结合题干条件即可得到结论；如图3，过C点作CF∥AB交DE的延长线于F，得到△ABE≌△FCE，AB=FC，结合题干条件即可得到结论．

解答：解：如图（1）延长DE到F使得EF=DE，
在△DCE和△FBE中，

EF=DE ∠DEC=∠FEB BE=EC

，
∴△DCE≌△FBE（SAS），
∴∠CDE=∠F，BF=DC，
∵∠BAE=∠CDE，
∴BF=AB，
∴AB=CD；

如图3，过C点作CF∥AB交DE的延长线于F，
在△ABE和△FCE中，

∠B=∠ECF BE=EC ∠BAE=∠F

，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC，
∵∠BAE=∠CDE，
∴∠F=∠CDE，
∴CD=CF，
∴AB=CD．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题难度不大，但是做题方法较多．