如图.在△ABC中.AB=AC=10.cosB=35.点D是BC边的中点．点P从点B出发.以每秒a个单位的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以每秒1个单位的速度从点D出发.沿DB匀速向点B运动.其中一个动点到达端点时.另一个动点也随之停止运动.设它们运动的时间为t秒．(1)BC= ,(2)若a=2.①设三角形BPQ的面积为y.求y与t的函数表达式.并求y的最大值,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以每秒a个单位（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．
（1）BC=

；
（2）若a=2，
①设三角形BPQ的面积为y，求y与t的函数表达式，并求y的最大值；
②求t为何值时，以Q为圆心、以PQ为半径的圆与AB相切；
（3）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
①若a=

，求PQ的长；
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）通过解直角三角函数即可求得；
（2）①根据已知条件PB=2t，BQ=6-t，然后根据cosB=

即可求得三角形的高PE，最后根据三角形的面积公式即可求得；②根据切线的性质判断三角形PBQ是直角三角形，然后根据cosB=

即可求解；
（3）①根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可求得，②根据已知可得到PB=PM，然后根据平行线分线段成比例求得t的值为负数，即可判断；

解答：

解：（1）如图1，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，cosB=

，
∴DC=BD=6，
∴BC=12，

（2）①如图1，过P作PE⊥BC于E，
∵cosB=

，
∴sinB=

，
∵sinB=

，PB=at=2t，
∴PE=

t，
∴y=

BQ•PE=

（6-t）×

t²，
即y=-

t²+

t，
∵y=-

t²+

t=-

（t-3）²+

，
∴y的最大值为

．
②∵以PQ为半径的圆与AB相切，
∴PQ⊥AB，
∵cosB=

，PB=2t，BQ=6-t，
∴

，
即

6-t

，
解得：t=

，
∴t=

时，以Q为圆心、以PQ为半径的圆与AB相切；

（3）①如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PQ∥AC，
∴∠PQB=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PQB，
∴PB=PQ=at，
∵a=

，
∴PQ=PB=

t，
∵PM=QC=6+t，PA=10-

t，
∵PM∥BC，
∴PM：BC=PA：AB，
即

6+t

10-

，
解得：t=

，
∴PQ=

．
②如图2，∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥BC，
∴∠MPC=∠QCP，
∵PC是∠ACB的平分线，
∴∠MCP=∠QCP，
∴∠MPC=∠MCP，
∴PM=CM，
∵PB=PQ=CM，PM=QC，
∴PM=PB=at，PM=6+t，
∵PM：BC=PA：AB，
∴

6+t

10-(6+t)

，
解得：t=-

，
∵t≥0，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．

点评：本题考查了直角三角函数的应用，平行四边形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及圆的切线的性质等；本题的关键是熟练运用圆的切线的性质，平行四边形的性质来解决问题．

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