Question

如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O的直线交AB、AC与E，F，△AEF是等边三角形．在BC上截取BG=BE，CH=CF，连接OG、OH．
（1）求证：△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH；
（2）求证：△OGH是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠EBO=∠GBO，然后根据“SAS”可判断△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH；
（2）根据等边三角形的性质得到∠AEF=∠AFE=60°，再根据邻补角的定义得∠BEO=∠CFO=120°，然后根据全等三角形的性质得∠BGO=∠BEO=120°，∠CHO=∠CFO=120°，所以∠OGH=60°，∠OHG=60°，最后根据等边三角形的判定即可得到结论．

解答：解：（1）∵∠B，∠C的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠GBO，
在△BOE和△BOG中

BE=BG ∠EBO=∠GBO BO=BO

，
∴△BOE≌△BOG（SAS）；
同理可得△OCF≌△OCH；

（2）∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠BEO=∠CFO=120°，
∵△BOE≌△BOG，△OCF≌△OCH，
∴∠BGO=∠BEO=120°，∠CHO=∠CFO=120°，
∴∠OGH=60°，∠OHG=60°，
∴△OGH是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．