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13.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上,顶点D,F在x轴上,点C在DE边上,反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的图象经过点B、C和边EF的中点M.若S正方形ABCD=2,则正方形DEFG的面积为(  )
A.$\frac{10}{3}$B.$\frac{32}{9}$C.4D.$\frac{15}{4}$

分析 作BH⊥y轴于B,连结EG交x轴于P,如图,利用正方形DEFG的顶点D、F在x轴上,点C在DE边上,则∠EDF=45°,于是可判断△AOD和△ABH都是等腰直角三角形,再根据正方形面积公式得到AB=AD=$\sqrt{2}$,所以OD=OA=AH=BH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=1,则B点坐标为(1,2),接着根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k得到反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$,设DN=a,则EN=NF=a,根据正方形的性质易得E(a+1,a),F(2a+1,0),然后利用线段中点坐标公式得到M点的坐标为($\frac{3a+2}{2}$,$\frac{a}{2}$),再根据反比例函数图象上点的坐标特征$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2,接着解方程求出a的值,最后计算正方形DEFG的面积.

解答 解:作BH⊥y轴于B,连结EG交x轴于P,如图,
∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上,顶点D、F在x轴上,点C在DE边上,
∴∠EDF=45°,
∴∠ADO=45°,
∴∠DAO=∠BAH=45°,
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形,
∵S正方形ABCD=2,
∴AB=AD=$\sqrt{2}$,
∴OD=OA=AH=BH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$=1,
∴B点坐标为(1,2),
把B(1,2)代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2,
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$,
设DN=a,则EN=NF=a,
∴E(a+1,a),F(2a+1,0),
∵M点为EF的中点,
∴M点的坐标为($\frac{3a+2}{2}$,$\frac{a}{2}$),
∵点M在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上,
∴$\frac{3a+2}{2}$•$\frac{a}{2}$=2,
整理得3a2+2a-8=0,解得a1=$\frac{4}{3}$,a2=-2(舍去),
∴正方形DEFG的面积=2•$\frac{1}{2}$EN•DF=2•$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{9}$.
故选B.

点评 本题考查了反比例函数综合题:熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质;理解坐标与图形性质,记住线段中点的坐标公式;会解一元二次方程.

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