【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始出发,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设出发的时间为t秒.
(1)填空:AC= cm;
(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求t的值;
(3)当t为何值时,△BPC为等腰三角形?
【答案】(1)8;(2)t=1.5;(3)3s或6s或5.4s或 6.5s.
【解析】
(1)根据勾股定理直接求解即可;
(2)过点P作PD⊥AB于点D,由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC,得出BD=BC=6cm,因此AD=10-6=4cm,根据题意可得PC=2t cm,则PA=(8-2t)cm,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案.
(1)在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,
由勾股定理可得: ,
故答案为:8.
(2)如图所示,过点P作PD⊥AB于点D,
∵BP平分∠CBA,
∴PD=PC.
在Rt△BPD与Rt△BPC中,
PD=PC ,BP=BP ,
∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL),
∴BD=BC=6 cm,
∴AD=10-6=4 cm.
由题意可得PC=2t cm,则PA=(8-2t)cm ,
在Rt△APD中,PD2+AD2=PA2,
即(2t)2+42=(8-2t)2,
解得:t=1.5,
∴当t=1.5秒时,BP平分∠CBA;
(3)如图,
若P在边AC上时,BC=CP=6cm,
此时用的时间为3s,△BCP为等腰三角形;
若P在AB边上时,有3种情况:
① 如图,
若使BP=CB=6cm,此时AP=4cm,P运动的路程为12cm,
所以用的时间为6s,故t=6s时△BCP为等腰三角形;
② 如图,
若CP=BC=6cm,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为4.8cm,
根据勾股定理求得BP=7.2cm, 所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm,
∴t的时间为5.4s,△BCP为等腰三角形;
③ 如图,
若BP=CP时,则∠PCB=∠PBC,
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°,
∴∠ACP=∠CAP,
∴PA=PC,
∴PA=PB=5cm,
∴P的路程为13cm,所以时间为6.5s时,△BCP为等腰三角形.
∴t=3s或6s或5.4s或 6.5s 时△BCP为等腰三角形.
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【题目】(1)如图,在四边形ABCD是矩形,点E是AD的中点,求证:EB=EC.
(2)如图,AB与相切于C,
,⊙O的半径为6,AB=16,求OA的长.
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【题目】在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,E为CB延长线上一点,点F在AB上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=60°,求∠ACF的度数.
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【题目】二次函数的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线
,下列结论:①
;②
;③
;④当
时,
随
的增大而增大.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
解方程()2﹣6(
)+5=0
解:令=y,代入原方程后,得:
y2﹣6y+5=0
(y﹣5)(y﹣1)=0
解得:y1=5 y2=1
∵=y
∴=5或
=1
①当=1时,方程可变为:
x=5(x﹣1)
解得x=
②当=1时,方程可变为:
x=x﹣1
此时,方程无解
检验:将x=代入原方程,
最简公分母不为0,且方程左边=右面
∴x=是原方程的根
综上所述:原方程的根为:x=
根据以上材料,解关于x的方程x2++x+
=0.
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【题目】一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式.
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上0.25m处出手,
问:球出手时,他距离地面的高度是多少?
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【题目】如图,在直角坐标系中,△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数,
(1)写出△ABC各顶点的坐标;
(2)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;
(3)写出△A1B1C1的各顶点关于y轴对称点A2,B2,C2的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分;
(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分;
(3)在(2)的情况下,若过点P作PE//BC,且在BC上有一点F,PE=CF,连结PF,
BE,试探索PF与BE的数量关系.
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