Question

如图，在四边形ABCD中，，，DE交BC于E，交AC于F，，.

(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求△ACD的面积.

Answer 1

详见解析

试题分析：(1)要证△FCD是等腰三角形，可证DF=CF或∠FCD=∠FDC.由DE//AB，∠B=90⁰，可得∠DEC=90⁰，又因为∠CDE=∠ACB=30⁰,所以∠DCF=30^0,,故∠FCD=∠FDC.
求△ACD的面积，应选择一条可求长度的边，并作出这条边上的高，进而利用三角形的面积公式求解.由（1）可知：∠DCA=∠ACB=30⁰，∠B=90⁰，根据角平分线的性质可以想到过点A作CD边的垂线AG=AB，且由条件易用ASA证△CBA≌△DEC，得AC=CD，再利用含30⁰的直角三角形性质求出AC=8，AG=AB=4,即可求解.

试题解析：
证明：∵DE//AB、∠B=90⁰
∴∠B=∠DEC=90⁰
∴∠CDE=∠ACB=30⁰
∴∠DCE=60^0,
∴∠DCF=60⁰-30⁰=30⁰
∴∠DCF=∠CDF
∴△FCD是等腰三角形.
解：过点A作AG⊥CD交CD于点G.
∵∠DCF=∠ACB=30⁰
∠B=∠DEC=90⁰
∴AB=AG
∵AB=4
∴AG=4   AC=8
∵在△CBA和△DEC中
∠B=∠DEC
DE=BC
∠ACB=∠CDE
∴△CBA≌△DEC
∴AC=CD=8
∴△ACD的面积=.