Question

9．分别以?ABCD的各边为边，向形外作四个正方形，试说明依次连接这四个正方形对角线的交点所构成的四边形是正方形．

Answer 1

分析 连接O₁A、O₂A、O₁D、O₄D，根据正方形的性质可得AO₂=DO₄，AO₁=DO₁，然后证明∠O₁DO₄=∠O₁AO₂，可利用SAS定理证明△O₁DO₄≌△O₁AO₂，进而可得O₁O₄=O₂O₁，然后证明四边形O₁O₂O₃O₄是菱形，再证明∠O₂O₁O₄=90°可得结论．

解答 证明：连接O₁A、O₂A、O₁D、O₄D，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，
∴AO₂=DO₄，
∵点O₄、O₁是上述两个正方形的对角线的交点，
∴AO₁=DO₁，
易知∠O₁DO₄=∠O₁DA+∠ADC+∠CDO₁=90°+∠ADC，
∵平行四边形ABCD中，有∠BAD=180°-∠ADC，
∴∠O₁AO₂=360°-（∠O₁AD+∠BAD+∠BAO₂）=360°-[45°+（180°-∠ADC）+45°]=90°+∠ADC，
∴∠O₁DO₄=∠O₁AO₂，
在△O₁DO₄和△O₁AO₂中$\left\{\begin{array}{l}{A{O}_{1}=D{O}_{1}}\\{∠{O}_{1}A{O}_{2}=∠{O}_{1}D{O}_{4}}\\{A{O}_{2}=D{O}_{4}}\end{array}\right.$，
∴△O₁DO₄≌△O₁AO₂（SAS），
∴O₁O₄=O₂O₁且∠O₂O₁A=∠O₄O₁D，
同理可证O₁O₂=O₂O₃=O₃O₄，
∴四边形O₁O₂O₃O₄是菱形，
∵点H是正方形的对角线的交点，
∴∠AO₁D=90°，即∠AO₁O₄+∠DO₁O₄=90°，
∴∠O₂O₁O₄=90°，
∴四边形O₁O₂O₃O₄是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握有一个角是直角的菱形是正方形．