Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=-

4

27

x²+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．

（1）点B的坐标为

 

，点C的坐标为

 

；
（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n．
①如图2，当n＜

1

2

AC时，求证：△PAM≌△NCP；
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；
③若PM的长为

97

，当二次函数y=-

4

27

x²+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．

Answer 1

考点：二次函数综合题,全等三角形的应用,相似三角形的应用

专题：压轴题

分析：（1）由二次函数y=-

4

27

x²+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，代入y=0，即可解出B，C坐标．
（2）①求证三角形全等．易发现由平行可得对应角相等，由平行四边形对边相等及已知BM=AP，可得对应角的两个邻边对应相等，则利用SAS得证．
②上问中以提示n＜

1

2

AC，则我们可以分n＜

1

2

AC，n=

1

2

AC，n＞

1

2

AC三种情形讨论．又已得△PAM≌△NCP，顺推易得PQ与n的关系．
③上问中已得当n＜

1

2

AC时，PQ=15-2n；当n＞

1

2

AC时，PQ=2n-15，则也要分两种情形讨论，易得两种情形的P，N．由图象为二次函数y=-

4

27

x²+12平移后的图形，所以可设解析式为y=-

4

27

（x+k）²+12+h，代入即得．

解答：（1）答：（-9，0），（9，0）．
解：B、C为抛物线与x轴的交点，故代入y=0，得y=-

4

27

x²+12=0，
解得 x=-9或x=9，
即B（-9，0），C（9，0）．

（2）①证明：∵AB∥CN，
∴∠MAP=∠PCN，
∵MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
∴BM=CN，
∵AP=BM，
∴AP=CN，
∵BO=OC，OA⊥BC，
∴OA垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴AM=AB-BM=AC-AP=CP．
在△PAM和△NCP中，

AP=CN ∠MAP=∠PCN AM=CP

，
∴△PAM≌△NCP（SAS）．
②解：1．当n＜

1

2

AC时，如图1，
，
∵四边形MBCN为平行四边形，
∴∠MBC=∠QNC，
∵AB=AC，MN∥BC，
∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，
∴∠NQC=∠QNC，
∴CN=CQ，
∵△MAP≌△PCN，
∴AP=CN=CQ，
∵AP=n，AC=

AO2+OC2

=

122+92

=15，
∴PQ=AC-AP-QC=15-2n．
2．当n=

1

2

AC时，显然P、Q重合，PQ=0．
3．当n＞

1

2

AC时，如图2，

∵四边形MBCN为平行四边形，
∴∠MBC=∠QNC，BM=CN
∵AB=AC，MN∥BC，
∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，
∴∠NQC=∠QNC，
∴BM=CN=CQ，
∵AP=BM，
∴AP=CQ，
∵AP=n，AC=15，
∴PQ=AP+QC-AC=2n-15．
综上所述，当n＜

1

2

AC时，PQ=15-2n；当n＞

1

2

AC时，PQ=2n-15．
③y=-

4

27

x2+

16

9

x+4或y=-

4

27

x2+

32

9

x-12．
分析如下：
1．当n＜

1

2

AC时，如图3，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．
此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=15-2n．

∵PM=PN，
∴ME=EN=

1

2

MN=

1

2

BC=9，
∴PE=

PM2-ME2

=

97-81

=4，
∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ=5，
∴15-2n=5，
∴AP=n=5，
∴PC=10，
∴FC=6，PF=8，
∵OF=OC-FC=9-6=3，EN=9，EF=PF-PE=8-4=4，
∴P（3，8），N（12，4）．
设二次函数y=-

4

27

x²+12平移后的解析式为y=-

4

27

（x+k）²+12+h，
∴

8=- 4 27 (3+k)2+12+h 4=- 4 27 (12+k)2+12+h

，
解得

k=-6 h=- 8 3

，
∴y=-

4

27

（x-6）²+12-

8

3

=-

4

27

x²+

16

9

x+4．
2．当n＞

1

2

AC时，如图4，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．
此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=2n-15．

∵PM=PN，
∴ME=EN=

1

2

MN=

1

2

BC=9，
∴PE=

PM2-ME2

=

97-81

=4，
∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ=5，
∴2n-15=5，
∴AP=n=10，
∴PC=5，
∴FC=3，PF=4，
∵OF=OC-FC=9-3=6，EN=9，EF=PF+PE=4+4=8，
∴P（6，4），N（15，8）．
设二次函数y=-

4

27

x²+12平移后的解析式为y=-

4

27

（x+k）²+12+h，
∴

4=- 4 27 (6+k)2+12+h 8=- 4 27 (15+k)2+12+h

，
解得

k=-12 h=- 8 3

，
∴y=-

4

27

（x-12）²+12-

8

3

=-

4

27

x²+

32

9

x+4．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，三角形全等、相似的证明与性质，函数平移及待定系数法求过定点函数解析式等知识．回答题目是一定注意多问综合题目问题之间的相关性，顺着题目思路递推易得思路．本题计算量稍大，难度适中，适合学生训练．