Question

11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP²=AD•AB，
（1）求证：△ADP∽△APC；
（2）求∠APD的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AP²=AD•AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC；
（2）由相似三角形的性质得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，

解答 （1）证明：∵AP²=AD•AB，AB=AC，
∴AP²=AD•AC，
$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP}$，
∵∠PAD=∠CAP，
∴△ADP∽△APC，
（2）解：∵△ADP∽△APC，
∴∠APD=∠ACB，
作AE⊥BC于E，如图所示：
∵AB=AC，
∴CE=$\frac{1}{2}$×24=12，
∴AE=$\sqrt{A{C^2}-C{E^2}}$=5，
∴sin∠APD=sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．