Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）；（4）AB²=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号）______．

Answer 1

解：（1）不能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴无法证明△ABC是直角三角形；
（2）能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；
（3）能
∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠CDA=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，（因为都有一个直角，两组对应边成比例）
∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD
∵∠ABD+∠BAD=90°
∴∠CAD+∠BAD=90°
∵∠BAC=∠CAD+∠BAD
∴∠BAC=90°；
（4）能，
∵能说明△CBA∽△ABD，
∴△ABC一定是直角三角形．
∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．
分析：（1）根据直角三角形中两个锐角互余，即可判定∠BAD=∠CAD，继而可得△ABC是等腰三角形，不能判定△ABC是直角三角形；
（2）利用直角三角形中两个锐角互余的知识，可得∠BAC=90°，则可得△ABC是直角三角形；
（4）由与∠ADB=∠CDA=90°，即可判定Rt△ABD∽Rt△CAD，则可得∠B=∠DAC，则可得△ABC是直角三角形；
（4）由AB²=BD•BC与∠B是公共角，可判定△CBA∽△ABD，则可得△ABC是直角三角形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．