Question

1．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4$\sqrt{2}$，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A-C-B运动，在边AC的速度为每秒1个单位长度，在边CB的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度；点Q沿B-A-B以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点P作AB的垂线与AB交于点D，以PD为边向由作正方形PDEF；过点Q作AB的垂线l．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），运动时间为t（秒）．
（1）当点P运动点C时，PD的长度为4．
（2）求点D在直线l上时t的值．
（3）求y与t之间的函数关系式．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t使得在直线上任取一点H，均有HD=HE？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PD垂直AB，垂足为D，由题意可知，△PDB为等腰直角三角形，从而可求得PD的长；
（2）先求得AD的长，然后依据勾股定理可求得AC的长，由锐角三角函数的定义AD=$\frac{3}{5}$t，当点Q由A到B时．AQ=2（t-3.5），然后由AQ=AD列方程求解即可；如图2所示：当点Q由B到A时，AP=t，则AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t，由AD+BQ=7列方程求解即可；
（3）如图4所示：可分为正方形全部在△ABC的内部、正方形的一部分在△ABC内部、正方形的一半在△ABC的内部三种情况进行计算；
（4）由线段垂直平分线的性质可知l为DE的垂直平分线，然后用含t的式子表示出AQ，BQ的长，最后列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：
．
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°．
又∵∠DBP=45°．
∴PD=BD=BC×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4．
故答案为：4．
（2）如图1所示：∵AB=7，BD=4，
∴AD=3．
∴AC=5．
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，cos∠A=$\frac{3}{5}$．
如图2所示：当点P在AC上时，AP=t，则PD=$\frac{4}{5}$t，AD=$\frac{3}{5}$t，BQ=2t．

∵AD+BQ=7，
∴$\frac{3}{5}$t+2t=7．
解得：t=$\frac{35}{13}$．
如图3所示：当点Q由A到B时．AD=$\frac{3}{5}$t，AQ=2（t-3.5）．

根据题意得：$\frac{3}{5}$t=2（t-3.5）．
解得t=5．
综上所述，当t=$\frac{35}{13}$或t=5时，点D在直线l上．
（3）如图4所示：

∵PD=$\frac{4}{5}$t，
∴y=DP²=（$\frac{4}{5}$t）²=$\frac{16}{25}$t²．
当点F恰好在BC上时．EF=BB=$\frac{4}{5}$t．
∵AD+DE+EB=7，
∴$\frac{3}{5}$t+$\frac{4}{5}$t+$\frac{4}{5}$t=7．
解得：t=$\frac{35}{11}$．
∴当0＜t≤$\frac{35}{11}$时，S=$\frac{16}{25}$t²．
当$\frac{35}{11}$＜t≤5时，如图5所示．

∵AQ=$\frac{3}{5}$t，DE=PD=$\frac{4}{5}$t，
∴EB=7-$\frac{7}{5}$t．
∵∠GEB=90°，∠B=45°，
∴EG=EB=7-$\frac{7}{5}$t．
∴FG=FE-GE=$\frac{11}{5}$t-7．
∴y=PD²-$\frac{1}{2}$FH•FG=-$\frac{89}{50}$t²+$\frac{77}{5}$t-$\frac{49}{2}$．
当5＜t≤7时，如图6所示．

∵AD=AC×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$CP=3+（t-5）=t-2，
∴DB=7-（t-2）=9-t．
∴y=$\frac{1}{2}$（9-t）²=$\frac{1}{2}$t²-9t+$\frac{81}{2}$．
综上所述，y与t的关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{25}{t}^{2}（0＜t≤\frac{35}{11}）}\\{-\frac{89}{50}{t}^{2}+\frac{77}{5}t-\frac{49}{2}（\frac{35}{11}＜t≤5）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-9t+\frac{81}{2}（5＜t≤7）}\end{array}\right.$．
（4）如图7所示：当l为DE的垂直平分线时，直线l上任意一点H，使的HD=HE．

∵AD=$\frac{3}{5}$t，DE=DP=$\frac{4}{5}$t，
∴AQ=$\frac{3}{5}$t+$\frac{2}{5}$t．
∵QB=2t．
∴t+2t=7．
解得：t=$\frac{7}{3}$．
如图8所示：

∵由（3）可知AD=t-2，PD=9-t，
∴AQ=t-2+4.5-$\frac{1}{2}$t=2.5+$\frac{1}{2}$t．
∴2.5+$\frac{1}{2}$t=2t-7．
解得：t=$\frac{19}{3}$．
综上所述，当t=$\frac{7}{3}$或t=$\frac{19}{3}$时，在直线l上存在点H使得HD=HE．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、等腰直角三角形的性质，特殊锐角三角函数值，锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，并用含t的式子表示相关线段的长度是解题的关键．