Question

如图，已知点A是双曲线y=

2

x

在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=

k

x

（k＜0）上运动，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：动点型

分析：连接OC，易证AO⊥OC，OC=

3

OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=

3

AE，FC=

3

EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=-xy=-6，即k=xy=-6．

解答：解：∵双曲线y=

2

x

关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC=

OC

OA

=

3

．
∴OC=

3

OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴

AE

OF

=

EO

FC

=

AO

OC

．
∵OC=

3

OA，
∴OF=

3

AE，FC=

3

EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=

3

AE=

3

a，FC=

3

EO=

3

b．
∵点A在双曲线y=

2

x

上，
∴ab=2．
∴FC•OF=

3

b•

3

a=3ab=6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy
=6．
∴xy=-6．
∵点C在双曲线y=

k

x

上，
∴k=xy=-6．
故答案为：-6．

点评：本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．