Question

9．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M、N，若∠OBN=2∠OMN，$\widehat{AC}$的度数为90°，求∠OMN的大小．

Answer 1

分析 连接OC，三角形的外心性质得出OA=OB=OC，设∠OMN=x，则∠OCN=OBN=2x，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ONC=90°，得出∠NOC=90°-2x，由弧的度数求出∠MON=180°-2x，证出∠ONM=∠OMN，得出OM=ON，由已知条件得出ON=$\frac{1}{2}$OB，由含30°角的直角三角形的性质的逆定理得出∠OBN=30°，得出x=15°即可．

解答 解：连接OC，如图所示：
∵△ABC的外心为O，
∴OA=OB=OC，
设∠OMN=x，则∠OCN=OBN=2x，
∵N是BC的中点，
∴ON⊥BC，
∴∠ONC=90°，
∴∠NOC=90°-2x，
∵$\widehat{AC}$的度数为90°，
∴∠AOC=90°，
∴∠MON=180°-2x，
∴∠ONM=180°-x-（180°-2x）=x，
∴∠ONM=∠OMN，
∴OM=ON，
∵M是OA的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBN=30°，
即2x=30°，
∴x=15°，
即∠OMN=15°．

点评 本题考查了三角形的外心、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质的逆定理、弧的度数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．