Question

20．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲车返回A地时的行驶速度；
（2）求在整个行程中，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）求相遇以后，两车之间的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象中的数据可以求得甲车返回A地时的行驶速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得在整个行程中，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）根据题意和（1）和（2）的答案可以求得相遇以后，两车之间的最大距离，本题得以解决．

解答 解：（1）由图象可得，
甲车从A地到B地的速度为：180÷1.5=120千米/时，
∴甲车从A地到B地的时间为：300÷120=2.5（小时），
∴甲车返回A地时的行驶速度是：300÷（5.5-2.5）=100千米/时，
即甲车返回A地时的行驶速度是100千米/时；
（2）当0≤x≤2.5时，设甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式y=kx，
则180=1.5k，得k=120，
即当0≤x≤2.5时，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式是y=120x，
当2.5＜x≤5.5时，设甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2.5a+b=300}\\{5.5a+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-100}\\{b=550}\end{array}\right.$，
即当2.5＜x≤5.5时，设甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式y=-100x+550，
由上可得，在整个行程中，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{120x}&{（0≤x≤2.5）}\\{-100x+550}&{（2.5＜x≤5.5）}\end{array}\right.$；
（3）设乙车从B地到A地的函数解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=300}\\{1.5m+n=180}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-80}\\{n=300}\end{array}\right.$，
即乙车从B地到A地的函数解析式为y=-80x+300；
当1.5＜x≤2.5时，120x-（-80x+300）=200x-300，
当x=2.5时，200x-300取得最大值，此时200x-300=200×2.5-300=200，
将y=0代入y=-80x+300，得x=3.75，
当2.5≤x≤3.75时，（-100x+550）-（-80x+300）=-20x+250，
∴当x=2.5时，-20x+250取得最大值，此时-20x+250=-20×2.5+250=200，
由图象可知，当3.75≤x≤5.5时，两车之间的随x的增大而减小，
由上可得，相遇以后，两车之间的最大距离是200千米．

点评 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．