Question

4．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OB=OC即可得出∠OBC=∠OCB，根据垂直的定义即可得出∠BDC=∠CEB=90°，结合公共边BC=CB即可证出△BDC≌△CEB（AAS），进而可得出∠EBC=∠DCB，再根据角相等即可得出AB=AC，从而证出△ABC是等腰三角形；
（2）由△BDC≌△CEB可得出BD=CE，结合OB=OC即可得出OD=OE，利用角平分线性质定理的逆定理即可得出点O在∠BAC的平分线上．

解答 （1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BD、CE是△ABC的两条高，
∴∠BDC=∠CEB=90°．
在△BDC和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEB}\\{∠DBC=∠ECB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴∠EBC=∠DCB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：点O在∠BAC的平分线上，理由如下：
∵△BDC≌△CEB，
∴BD=CE，
又∵OB=OC，
∴OD=OE．
∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．

点评 本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△BDC≌△CEB是解题的关键．