Question

16．如图，⊙O的半径为3，过点A（5，0）的直线与⊙O相切于点B，与y轴正半轴相交于点C．
（1）求AB的长；
（2）如果把直线AC看成一次函数y=kx+b的图象，试求k，b的值．

Answer 1

分析 （1）运用切线的性质，借助勾股定理即可求出AB的长度；
（2）首先运用射影定理求出BC的长度，进而运用勾股定理求出OC的长度，借助待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OB；
∵直线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB；
由勾股定理得：
AB²=AO²-OB²=25-9=16，
∴AB=4；
（2）∵OB是直角△AOC的斜边AC上的高，
∴OB²=AB•BC（射影定理），
∴BC=$\frac{9}{4}$；
由勾股定理得：
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴点C的坐标为（0，$\frac{15}{4}$），
将A、C两点的坐标代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{\frac{15}{4}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．

点评 该命题以平面直角坐标系为载体，以圆的切线的性质、待定系数法为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．