Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点E，若D是AC的中点，连结DE．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若，，求⊙O的半径长；

（3）在（2）的条件下，过点A作⊙O的另一条切线，切点为F，过点F作FG⊥BC，垂足为H，且交⊙O于G点，连结AO 交CF于点P．求线段FG的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）；

【解析】

（1）连接OE、OD，易证OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COD≌△EOD， 所以∠DEO=∠DCO =90°，从而可知DE是⊙O的切线；

（2）由切线长定理得：DC=DE=，由点M是AC的中点可知AC＝3，tan∠ABC＝ ，所以BC＝4，从而可知⊙O的半径为2；

（3连结OF，由AC、AF都是⊙O的切线可知AO⊥CF，利用等面积可求得CF的长度，设OH为x，然后利用勾股定理可求得OH的长度，利用垂径定理即可求得FG．

（1）证明：连结OE、OD，

∵D是AC的中点，O是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∴∠COD=∠ABC，∠EOD=∠OEB，

又∵OB=OE，∴∠OEB=∠ABC，

∴∠COD=∠EOD，

在△COD与△EOD中，

∴△COD≌△EOD（SAS），

∴∠DEO=∠DCO =90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵DC、DE分别是⊙O的切线，

∴，

∵D是AC的中点，

∴AC=2DC=3，

在Rt△ABC中，

∵，∴，

∴BC=4，

∴⊙O的半径为2．

（3）连结OF，

∵AC、AF都是⊙O的切线，

∴AC=AF，AO平分∠CAF，

∴AO⊥CF，且PC=PF，

∵AC=3，OC=2，

∴由勾股定理可得：，

由三角形面积法可得：ACOC=AOCP，

∴CP=，∴CF=，

设OH=x，则CH=x+2，

由勾股定理可得：，

∴，

∴，∴，

在Rt△CFH中，

由勾股定理可得：，

∴由垂径定理可得：．