Question

关于x的一元二次方程x²-2x-m=0
①已知1+是方程的一个根，求它的另一根及m的值
②判断命题：“若m≤2，则方程x²-2x-m=0总有两个不相等的实数根”的真假，如果是真命题请给出证明；如果是假命题请举出一个反例说明

Answer 1

【答案】分析：①由两根之和可以求出方程的另一个根，由两根之积可以求出m的值．②用一元二次方程根的判别式证明命题的真假，然后用具体的数字说明．
解答：解：①设方程的另一个根为x₁，则：
x₁+1+=2，
∴x₁=1-．
x₁•（1+）=-m，
（1-）（1+）=-2=-m，
∴m=2．
故另一个根是：1-，m=2．

②△=4+4m＞0，
m＞-1．
∴当m＞-1时，方程总有两个不等实数根．
故命题“若m≤2，则方程x²-2x-m=0总有两个不相等的实数根”是假命题．
如当m=-2时，方程为x²-2x+2=0，此时△=4-8=-4＜0，方程没有实数根．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，①由两根之和可以求出方程的另一个根，两根之积可以求出m的值．②用判别式可以求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，可以证明命题是假命题，然后用具体的数字说明．