Question

15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5$\sqrt{5}$，则cos∠DBC的值为$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∵CD=10，AD=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
∴cos∠DBC=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{10}{2\sqrt{41}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．