Question

观察下列各式的规律，解决下列问题：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

…从计算结果中找规律．
（1）用n表示第n个等式（n≥1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）利用规律计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2009×2010

．

Answer 1

分析：（1）观察一系列等式，得到一般性规律，表示出即可；
（2）利用得出的规律化简原式，合并即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）根据题意得：原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．