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【题目】如图,⊙OABC的外接圆,AB是直径,作ODBC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若AE=6,CE=2,求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积.(结果保留根号和π)

【答案】(1)证明见解析;(2)2.

【解析】

1)连结OC,如图,先根据切线的性质得∠BAD=90°,再根据平行线的性质,由OD∥BC∠1=∠3∠2=∠4,加上∠3=∠4,则∠1=∠2,接着证明△AOD≌△COD,得到∠OCD=∠OAD=90°,于是可根据切线的判定定理得到DE⊙O的切线;

2)设半径为r,则OE=AEOA=6rOC=r,在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+22=6r2,解得r=2,再利用正切函数求出∠COE=60°,然后根据扇形面积公式和S阴影部分=SCOES扇形BOC进行计算即可.

解:(1)连结OC,如图,∵AD⊙O的切线,∴AD⊥AB∴∠BAD=90°

∵OD∥BC∴∠1=∠3∠2=∠4∵OB=OC∴∠3=∠4∴∠1=∠2

△OCD△OAD中,

∴△AOD≌△CODSAS);

∴∠OCD=∠OAD=90°

∴OC⊥DE

∴DE⊙O的切线;

2)设半径为r,则OE=AEOA=6rOC=r,在Rt△OCE中,∵OC2+CE2=OE2

∴r2+22=6r2,解得r=2∵tan∠COE===

∴∠COE=60°

∴S阴影部分=SCOES扇形BOC=×2×2

=2π

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1)在汛期期间的某天,水位正好达到警戒水位,有一艘顶部高出水面3米,顶部宽4米的巡逻船要路过此处,请问该巡逻船能否安全通过大孔?并说明理由.

2)在问题(1)中,同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过,小船的船顶高出水面1.5米,顶部宽3米,请问小船能否安全通过小孔?并说明理由.

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(2)求最长的斜拉索AC的长.

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2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象并写出这个函数的一条性质   

3)结合你所画的函数图象与yx+的图象,直接写出不等式组的解集.

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