如图，当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．分析 （1）由当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1，可得抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，-1），即可得y=ax2+bx+c=a（x-2）2-1，又由抛物线与y轴交于点C（0，3），即可求得抛物线的解析式；
（2）由y1-y2=（x2-4x+3）-[（x+1）2-4（x+1）+3]=3-2x，然后分别讨论当x为何值时，y1与y2的大小；
（3）①首先求得点A与B的坐标，继而求得直线AC的解析式，再设点E的坐标为：（x，3-x），则点F的坐标为：（x，x2-4x+3），即可求得答案；
②由EF∥OC，可得∠DEF=45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，然后分别求解即可求得答案．
解答 解：（1）∵当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为：（2，-1），
∴y=ax2+bx+c=a（x-2）2-1，
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴4a-1=3，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3；
（2）∵y1-y2=（x2-4x+3）-[（x+1）2-4（x+1）+3]=3-2x，
∴当3-2x＞0，即x＜$\frac{3}{2}$时，y1＞y2；
当3-2x=0，即x=$\frac{3}{2}$时，y1=y2；
当3-2x＜0，即x＞$\frac{3}{2}$时，y1＜y2；
（3）①存在x=$\frac{3}{2}$，使线段EF最长．
令y=0，即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴点A（3，0），点B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x+3，线段AC的中点D的坐标为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设点E的坐标为：（x，3-x），则点F的坐标为：（x，x2-4x+3），
∴EF=（3-x）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，EF最长，其值为$\frac{9}{4}$；
②∵EF∥OC，
∴∠DEF=45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，
若以点F为直角顶点，则DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，
∴DF所在直线为：y=$\frac{3}{2}$，
由x2-4x+3=$\frac{3}{2}$，解得：x1=$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$，x2=$\frac{4+\sqrt{10}}{2}$＞3（不符合题意，舍去），
将x=$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$代入y=-x+3，得点E的坐标为：（$\frac{4-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$）；
若点D为直角顶点，则DF⊥AC，此时△DEF∽△OCA，
∵点D为线段AC的中点，
∴DF所在直线过原点O，其关系式为y=x，
∴x2-4x+3=x，
解得：x1=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，x2=$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$＞3（不符合题意，舍去），
将x=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$代入y=-x+3，得点E的坐标为：（$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．
点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意方程思想与数形结合思想的应用．
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