Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D．若∠C =45°，AB=8.

（1）求BC的长；

（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）

【解析】

（1）连接OD，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与CD垂直，可得三角形OCD为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到sinC为∠C的对边OD与斜边OC的比值，即可求出OC的长，则BC=OC-OB,可得出BC的长；

（2）由直角三角形中∠C的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠DOC的度数，求得CD的长度，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，利用扇形的面积公式求出扇形BOD的面积，用三角形COD的面积减去扇形COE的面积，即可求出阴影部分的面积．

（1）连接OD，

∵CD切⊙O于点D，

∴OD⊥CD，

∵AB=8，

∴OB=OD=AB=4，

又在直角三角形OCD中，∠C=45°，

∴sinC=sin45°=，

即OC=，

∴BC=OC-OB=；

（2）∵∠OCD=90°，∠C=45°，

∴∠COD=45°，
∴CD=OD=4，

∴S△COD=CD·OD==8，

∴S扇形BOD==2π，

则S阴影= S△COD - S扇形BOD =8-2π．