Question

7．已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E．
（1）如图1，当AC⊥BD，OF⊥CD于点F，交AC于点G时，求证：∠OGA=∠BAC；
（2）如图2，在（1）问的条件下，求证：AB=2OF；
（3）如图3，当AB=AD，∠BAC=∠BCD，BK⊥AC于点K时，且AK=1，BD=12，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据同角的余角相等，由AC⊥BD，OF⊥CD可得∠CGF=∠CDE，根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，根据对顶角相等可得∠OGA=∠CGF，根据等量代换就可解决问题；
（2）如图2，延长DO交圆于M，连接AM，CM，根据三角形中位线定理可得OF=$\frac{1}{2}$MC，要证AB=2OF，只需证AB=MC，根据等角的余角相等可得∠ADM=∠CDB，即可得到∠ADB=∠MDC，从而得到AB=MC，问题得以解决；
（3）如图3，在KC上取一点F，使得BF=BA，连接CD，根据等腰三角形的性质可得KF=AK=1，∠BAF=∠BFA，则有∠ABF=180°-2∠BAF．由∠BAC=∠BCD可得BC=BD，即可得到∠BCD=∠BDC，则有∠DBC=180°-2∠BCD，从而可得∠ABF=∠DBC，即可得到∠ABD=∠FBC，从而可证到△ABD≌△FBC，则有AD=FC，即可得到FC=AD=AB=BF．设FC=x，则BF=x，KC=x+1．根据勾股定理可得BK²=BF²-KF²=BC²-KC²，即x²-1^2₌12²-（x+1）²，解得x=8，则AB=FC=8．易证△BAF∽△BCD，运用相似三角形的性质即可求出CD的值．

解答 证明：（1）如图1，

∵AC⊥BD，
∴∠CED=90°．
∵OF⊥CD于点F，
∴∠GFC=90°．
∴∠CGF=∠CDE=90°-∠ECD，
∵∠OGA=∠CGF，
∴∠OGA=∠CDE，
∵∠CDE=∠BAC，
∴∠OGA=∠BAC；

（2）如图2，延长DO交圆于M，连接AM，CM，

∵O为MD的中点，F为DC的中点，
∴OF为△DCM的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$MC，
∵∠AMD=∠ACD，∠MAD=90°
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠ACD+∠CDB=90°，
∴∠ADM=∠CDB，
∴∠ADB=∠MDC，
∴AB=MC，
∴AB=2OF；

（3）如图3，在KC上取一点F，使得BF=BA，连接CD，

∵BF=BA，BK⊥AF，
∴KF=AK=1，∠BAF=∠BFA，
∴∠ABF=180°-2∠BAF．
∵∠BAC=∠BCD，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠DBC=180°-2∠BCD，
∴∠ABF=∠DBC，
∴∠ABF+∠FBD=∠DBC+∠FBD，即∠ABD=∠FBC．
在△ABD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{∠ABD=∠FBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBC，
∴AD=FC．
∵AB=AD，
∴FC=AB=BF．
设FC=x，则BF=x，KC=x+1．
∵BK⊥AC，即$∠\\;BKC=90°$BKC=90°，
∴BK²=BF²-KF²=BC²-KC²，
∴x²-1^2₌12²-（x+1）²，
整理得x²+x-72=0，
解得x₁=-9（舍），x₂=8，
∴AB=FC=8．
∵∠ABF=∠DBC，∠BAF=∠BCD，
∴△BAF∽△BCD，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{CD}$，
∴CD=3．

点评 本题主要考查了圆周角定理、圆周角与弦的关系、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、同角或等角的余角相等、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性比较强，难度比较大，构造旋转型全等是解决第（3）小题的关键，若出现共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，就会有旋转型全等．