Question

（本小题满分8分）         

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．
（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，
sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
 

Answer 1

（1）相等，证明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．
又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．
在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．   …………………………………………  4分
（2）作AH⊥PQ，垂足为H，设AE＝x，
则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．
Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．…………………………………………8分

此题考查的知识点有三角形全等、三角函数的计算。