【题目】已知抛物线的最低点为 D(0,2)
(1)求 m, n 的值
(2)直线 y=kx+4 交 y 轴于点 F,与抛物线交于 A,B 两点,直线 AD 交 x 轴于点 P.
①求证:BP//y 轴
②作 BQ⊥AD 交 y 轴于点 Q,求证:对于每个给定的实数 k,四边形 FQPB 均为平行四边形
【答案】(1)m=0,n=2;(2)①见解析,②见解析.
【解析】
(1)抛物线的最低点为 D(0,2),根据对称轴求出m的值,再把D点代入解析式求出n的值;
(2)①联立求出A点坐标,然后表示出P点的坐标,即可证明BP∥y轴;
②BQ⊥AD和B点坐标,求出BQ的解析式,然后求出点Q的坐标,即可求出FQ的长度,证明FQ=BP,即可证明四边形 FQPB 为平行四边形.
(1)∵抛物线的最低点为 D(0,2),
∴抛物线对称轴为x=0,
∴,解得m=0,
把点D(0,2)代入抛物线中,
则,解得n=2;
(2)①联立,解得
,
把代入
中得:
,
则A点坐标为:,
设AD直线解析式为,
把A,D(0,2)代入
中,
解得:,
令y=0,则,
则P点坐标为:,
∵B点横坐标为,
则BP∥y轴;
②设BQ的解析式为,
∵BQ⊥AD,
∴,
∵点B坐标为,
则BQ解析式为,
则Q点坐标为:
则FQ=,
∴FQ=BP,
∵FQ∥BP,
∴四边形FQPB为平行四边形.
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【题目】如图①,在中,
为
边上一点,过
点作
交
于点
,连接
,
为
的中点,连接
.
(观察猜想)
(1)①的数量关系是___________
②的数量关系是______________
(类比探究)
(2)将图①中绕点
逆时针旋转
,如图②所示,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(拓展迁移)
(3)将绕点
旋转任意角度,若
,请直接写出点
在同一直线上时
的长.
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【题目】小明经过市场调查,整理出他妈妈商店里一种商品在第天的销售量的相关信息如下表:
时间第 | ||
售价(元/件) | 50 | |
每天销量(件) |
已知该商品的进价为每件20元,设销售该商品的每天利润为元.
(1)求出与
的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于2400元?请直接写出结果.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.
定义图形W的测度面积:若|x1﹣x2|的最大值为m,|y1﹣y2|的最大值为n,则S=mn为图形W的测度面积.
例如,若图形W是半径为1的⊙O,当P,Q分别是⊙O与x轴的交点时,如图1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4
(1)若图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.
①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S= ;
②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S= ;
(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD,则此图形的测度面积S的最大值为 ;
(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.
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【题目】某县教育局为了对该区八年级数学学科教学质量进行检查,对该区八年级的学生进行摸底,为了解摸底的情况,进行了抽样调查,过程如下,请将有关问题补充完整.
收集数据:随机抽取学校与
学校的各20名学生的数学成绩(单位:分)进行
| 91 | 89 | 77 | 86 | 71 | 31 | 97 | 93 | 72 | 91 |
81 | 92 | 85 | 85 | 95 | 88 | 88 | 90 | 44 | 91 | |
| 84 | 93 | 66 | 69 | 76 | 87 | 77 | 82 | 85 | 88 |
90 | 88 | 67 | 88 | 91 | 96 | 68 | 97 | 59 | 88 |
整理、描述数据:按如下数据段整理、描述这两组数据
分段 学校 | 30≤x≤39 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 7 | 8 |
|
分析数据:两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:
统计量 学校 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| 81.85 | 88 | 91 | 268.43 |
| 81.95 | 86 | m | 115.25 |
得出结论:
:若
学校有800名八年级学生,估计这次考试成绩80分以上(包含80分)人数为多少人?
:根据表格中的数据,推断出哪所学校学生的数学水平较高,并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线
交
轴于
、
两点,交
轴于点
,
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,为第一象限内抛物线上一点,
的面积为3时,且
,求
点坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,、
为抛物线上的点,且两点关于抛物线对称轴对称,过
作
轴垂线交过点
且平行于
轴的直线于
,
交抛物线于
,延长
至
,连接
,
,当线段
时,求点
的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】疫情防控,我们一直在坚守.某居委会组织两个检查组,分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查,则他们恰好抽到同一个小区的概率是( )
A.B.
C.
D.
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