Question

某企业去年开始生成一种新产品，每件成本50元，由于新产品市场占有率较低，上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y₁（件）与月份x（月）满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y₂（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，它们的图象如图所示．已知1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z=60+

5

2

x（1≤x≤6，x为整数）：除生成成本外，平均每销售一件产品还需额外支出的杂费p（元）与月份x之间满足函数关系：p=

1

2

x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和额外支出的杂费均稳定在6月的水平．

（1）根据题中图象，求出y₁与y₂与x之间的函数关系式；
（2）求出在去年1至12月，企业销量该零件在哪个月获得的利润W（元）最大？并求出这个最大值；
（3）今年初以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为出来去年积压的4000件库存产品，该企业计划采取新的营销策略，据销售部门调研，物价部门规定其销售单价不得高于每件75元，当按最高单价75元销售时，这批库存产品月均销售350件，当单价每降低1元，月均销售将增加50元．现有两种销售方案，一是直接按最高单价销售，另一种是采用上述降价促销，以获得月均利润最高的方式去销售，若将这批库存产品全部售出，请比较月均获利最多和销售最高这两种销售方案，哪一种总获利较多，多多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可；
（2）利用获得的利润=（每件产品的利润-额外支出的杂费）×月销售量，列出函数分段对比即可；
（3）把两种方案分别计算比较结果即可．

解答：解：（1）设y₁=kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，

k+b=600 4k+b=450

，解得

k=-50 b=650

∴y₁=-50x+650；
把x=6代入y₁得y=350；
设y₂=a（x-6）²+350，
把（10，430）代入解得a=5，
∴y₂=5（x-6）²+350；
（2）当1≤x≤6时
W=（60+

5

2

x-50-

1

2

x）（-50x+650）
=-100（x-4）²+8100；
在4月份时，获得的最大利润为8100元；
当7≤x≤12时
W=[5（x-6）²+350]（60+6×

5

2

-50-

1

2

×6）
=110（x-6）²+7700；
∵y随x增大而增大，
∴当x=12时，获得的利润最大，最大利润为110×（12-6）²+7700=11660元；
综上所知12月获得的利润最大，这个最大值为11660元．
（3）直接按最高单价销售获利：
（75-50）×4000-6000×

4000

350

=28000元；
降价促销：
设降价x元销售，所获得的利润为W，由题意得
W=（75-50-x）×4000-6000×

4000

350+50x

=-4000x+100000-6000×

4000

350+50x

，
4000能被350+50x整除且符合题意，x可以取1、3、9、13，
当x=1，W=3600O；
当x=3，W=40000；
当x=9，W=34000；
当x=13，W=24000；
综上所知降价促销当降价3元时，利润最大为40000元；
所以按降价促销获利最多，多40000-28000=12000元；
答：按降价促销总获利较多，多12000元．

点评：此题综合考查了二次函数的实际应用，以及利用函数解决方案选择的问题，注意分段函数的运用．