Question

如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于点C，∠0AP+∠0BP=180°．求证：AO+BO=2CO．

Answer 1

证明：作PD⊥OB于D．
∴∠PDO=90°．
∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA
∴PC=PD．∠PCA=90°．
∴∠PCA=∠PDO．
在Rt△PCO和RtPDO中，
，
∴Rt△PCO≌RtPDO（HL），
∴OC=OD．
∵∠OBP+∠DBP=180°，且∠0AP+∠0BP=180°，
∴∠OAP=∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴AC=BD．
∵AO+BO=AC+CO+BO，
∴AO+BO=BD+BO+CO，
∴AO+BO=DO+CO，
∴AO+BO=2CO．
分析：作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC=PD，就有△PCO≌PDO，就可以得出△ACP≌△BDP，进而得出结论．
点评：本题考查了角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．