Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图1）．
（1）求证：BM=DN；
（2）如图2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为3：5，DC=4，判断
∠ENA+∠ANC是否等于180度？若是说明理由并求四边形ABCE的面积．若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）连AC，根据矩形的性质得到OA=OC，易证△ANO≌△CMO，则AN=MC，即可得到结论；
（2）利用△CDN的面积与△CMN的面积比为3：5得DN：MC=3：5，则DN：AN=3：5，再根据折叠的性质得EN=DN，AE=DC=4，∠E=∠D=90°，在Rt△AEN中利用勾股定理易得AN=5，EN=3，同样可得NC，易证Rt△NEA≌Rt△NDC，则∠ANE=∠DNC，即可得到∠ENA+∠ANC=180°；易得四边形ABCE的面积=四边形ABCD的面积，然后根据矩形的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：连AC，如图
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴OA=OC，
而AN∥MC，
∴∠OAN=∠OCM，∠ANO=∠OMC，
∴△ANO≌△CMO，
∴AN=MC，
∴BM=DN；

（2）解：∠ENA+∠ANC=180°．理由如下：
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为3：5，
∴DN：MC=3：5，
∴DN：AN=3：5，
又∵四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，
∴EN=DN，AE=DC=4，∠E=∠D=90°，
在Rt△AEN中，EN：AN=3：5，AE=4，
设EN=3x，则AN=5x，
∴（5x）²=（3x）²+4²，解得x=1，
∴AN=5，EN=3，
∴DN=3，
在Rt△DNC中，NC=

32+42

=5，
∴Rt△NEA≌Rt△NDC，
∴∠ANE=∠DNC，
∴∠ENA+∠ANC=180°；
∴四边形ABCE的面积=四边形ABCD的面积=4×（3+5）=32．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了勾股定理、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．