Question

如图①，抛物线y=ax²+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA•OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=

3

4

x+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由
（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线求出点C的坐标为（0，5），从而得到OC的长度是5，然后得到点B的横坐标是点A的横坐标的5倍，再根据顶点的横坐标列式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据直线l的解析式表示出矩形的长与宽与PQ的关系，然后表示出矩形的面积，再根据直线与抛物线的解析式表示出PQ，然后根据二次函数的最值问题求出PQ，再代入进行计算即可得解；
（3）先表示出M′N在x轴上的正投影，再根据向下平移纵坐标减表示出平移后的直线解析式，然后与抛物线联立，消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数用点M的坐标表示出点M′的横坐标，然后根据正投影的定义，表示出点M′N的横坐标的差值即可得解．

解答：解：（1）令x=0，则y=5，
所以，点C的坐标为（0，5），OC=5，
∵OA•OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5x_A=x_B，①
∵抛物线的顶点D的横坐标为4，
∴

xA+xB

2

=4，②
①、②联立解得，x_A=-2，x_B=10，
∴点A（-2，0），B（10，0），
∵抛物线y=ax²+bx+5交x轴于A、B，
∴

4a-2b+5=0 100a+10b+5=0

，
解得

a=- 1 4 b=2

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

4

x²+2x+5；

（2）∵以PQ为对角线的矩形的一边在直线l：y=

3

4

x+9上，

32+42

=5，
∴矩形的长、宽分别为

4

5

PQ，

3

5

PQ，
∴矩形的面积为

4

5

PQ•

3

5

PQ=

12

25

PQ²，
∵点P在抛物线y=-

1

4

x²+2x+5上，点Q在直线y=

3

4

x+9上，
∴PQ=x_Q-x_P=

3

4

x+9-（-

1

4

x²+2x+5）=

1

4

x²-

5

4

x+4=

1

4

（x²-5x+

25

4

）-

25

16

+4=

1

4

（x-

5

2

）²+

39

16

，
∴当x=

5

2

时，PQ有最小值为

39

16

，
故矩形面积的最小值为

12

25

×（

39

16

）²=

4563

1600

；

（3）是定值5．
理由如下：设M′N在x轴上的正投影为EF，则EF等于点N的横坐标减去点M′的横坐标，
∵直线y=

3

4

x+9向下平移m个单位，
∴平移后的直线解析式为y=

3

4

x+9-m，
联立

y= 3 4 x+9-m y=- 1 4 x2+2x+5

，
消掉y得，

1

4

x²-

5

4

x+4-m=0，
∵点M与点M′关于原点对称，
∴点M′的横坐标与点M的横坐标互为相反数，
∴EF=-

- 5 4

1 4

=5，是定值．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，矩形的面积，二次函数的最值问题，联立两函数解析式求交点，根与系数的关系，综合性较强，（1）求出点A、B的关系式，（2）根据直线用PQ表示出矩形的长与宽，（3）根据点M、M′的横坐标的关系利用根与系数的关系判断是解题的关键．