Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，-5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代数式表示）：
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=

21

8

；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）①当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，
②由S=S_{四边形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；
（3）根据图形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不变．
∵抛物线的解析式为：y=x²-tx，且M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S_{四边形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM
=

1

2

（t-4）（4t-16）+

1

2

[（4t-16）+（t-1）]×3-

1

2

（t-1）（t-1）
=

3

2

t²-

15

2

t+6．
解

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
得：t₁=

1

2

，t₂=

9

2

，
∵4＜t＜5，
∴t₁=

1

2

舍去，
∴t=

9

2

．

（3）

7

2

＜t＜

11

3

．
①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

7

2

＜t＜4且

10

3

＜t＜

11

3

，解得

7

2

＜t＜

11

3

；
③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；
综上所述，t的取值范围是：

7

2

＜t＜

11

3

．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．