分析 (1)因为AP与⊙O相切,所以∠OAB+∠PAB=90°,又因为BC是直径,所以∠OAB+∠CAO=90°,又易证∠CAO=∠OCA=∠PAB,∠ABC=∠ALC,所以∠ALC=∠ACP+∠APC;
(2)延长AF交⊙O于点G,由垂径定理可知AG=2AF,所以证明AD=AG即可,即只需要∠DLA=∠ACG即可;
(3)延长AF交⊙O于点G,连接GL,过点G作GM⊥AL于点M,过点D作DN⊥AL于点N,利用∠AEF=30°,可分别求得AM、AD、GM的长度,由因为tan∠DLA=tan∠GLA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以设DN=$\sqrt{3}$x,LN=2x,然后利用勾股定理求出x的值即可求得DL的长度.
解答 解:(1)连接AB、AO,如图1,
∵AP与⊙O相切,
∴∠OAB+∠PAB=90°,
∵BC是直径,
∴∠CAB=90°,
∴∠OAB+∠CAO=90°,
∴∠PAB=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠OCA,
∴∠PAB=∠OCA,
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$,
∴∠ABC=∠ALC,
∵∠ABC=∠PAB+∠APC,
∴∠ALC=∠ACP+∠APC;
(2)延长AF交⊙O于点G,延长AO交⊙O于点H,
连接FG,CG,HG,如图2
∵AH是直径,
∴∠AGH=90°,
∴∠HAG+∠AHG=90°,
∵AP与⊙O相切,
∴∠HAG+∠PAG=90°,
∴∠AHG=∠PAG,
∵$\widehat{AG}=\widehat{AG}$,
∴∠AHG=∠ACG,
∴∠PAG=∠ACG,
∵∠DLA=∠PAF,
∴∠ACG=∠DLA,
∴AD=AG,
∵由垂径定理可知:AG=2AF,
∴AD=2AF;
(3)延长AF交⊙O于点G,连接GL,
过点G作GM⊥AL于点M,过点D作DN⊥AL于点N,
∵∠AEF=30°,AE=2,
∴AF=1,
∴由垂径定理可知:AG=2AF=2,
∵∠MAG=60°,
∴AM=$\frac{1}{2}$AG=1,MG=$\sqrt{3}$
∴ML=AL-AM=2,
∴tan∠GLA=$\frac{MG}{ML}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由(2)可知:∠DLA=∠GLA,
∴tan∠DLA=tan∠GLA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{DN}{LN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
设DN=$\sqrt{3}$x,LN=2x,
∴AN=AL-LN=3-2x,
由(2)可知:AD=AG=2,
∴由勾股定理可知:AD2=DN2+AN2,
∴4=3x2+(3-2x)2,
∴x=$\frac{5}{7}$或x=1,
∵DL<AD,
∴a=1舍去,
∴DN=$\frac{5}{7}\sqrt{3}$,LN=$\frac{10}{7}$,
∴由勾股定理可求得:DL=$\frac{5}{7}\sqrt{7}$.
点评 本题考查圆的综合问题,涉及圆的切线性质,圆周角定理,垂径定理,解方程等知识,内容较为综合,考查学生灵活运用知识的能力.
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