Question

（2012•黄陂区模拟）如图，函数y=

k

x

(x＜0)的图象与直线y=-

3

3

x交于A点，将直线OA绕O点顺时针旋转30°，交函数y=

k

x

(x＜0)的图象于B点，若线段AB=3

2

-

6

，则k=

-3

3

．

Answer 1

分析：作AC⊥x轴与C，BD⊥x轴于D，AE⊥BD于E点，设A点坐标为（3a，-

3

a），则OC=-3a，AC=-

3

a，利用勾股定理计算出OA=-2

3

a，得到∠AOC=30°，再根据旋转的性质得到OA=OB，∠BOD=60°，易证得Rt△OAC≌Rt△BOD，OD=AC=-

3

a，BD=OC=-3a，于是有AE=OC-OD=-3a+

3

a，BE=BD-AC=-3a+

3

a，即AE=BE，则△ABE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到3

2

-

6

=

2

（-3a+

3

a），求出a=1，确定A点坐标为（3，-

3

），然后把A（3，-

3

）代入函数y=

k

x

即可得到k的值．

解答：解：作AC⊥x轴与C，BD⊥x轴于D，AE⊥BD于E点，如图，
点A在直线y=-

3

3

x上，可设A点坐标为（3a，-

3

a），
在Rt△OAC中，OC=-3a，AC=-

3

a，
∴OA=

AC2+OC2

=-2

3

a，
∴∠AOC=30°，
∵直线OA绕O点顺时针旋转30°得到OB，
∴OA=OB，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴Rt△OAC≌Rt△BOD，
∴OD=AC=-

3

a，BD=OC=-3a，
∵四边形ACDE为矩形，
∴AE=OC-OD=-3a+

3

a，BE=BD-AC=-3a+

3

a，
∴AE=BE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=

2

AE，即3

2

-

6

=

2

（-3a+

3

a），
解得a=1，
∴A点坐标为（3，-

3

），
而点A在函数y=

k

x

的图象上，
∴k=3×（-

3

）=-3

3

．
故答案为-3

3

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用勾股定理、旋转的性质以及等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算．