Question

如图1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．

(1)填空：∠ADE=____°；
(2)求证：  AB=BC;
(3)如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．

Answer 1

（1）45
（2）证明略
（3）1

解：（1）45；                                   ……2分
（2）证明：连接AC
∵∠DCB=75º，AD∥BC  
∴∠ADC="105º"
由等边△DCE可知：∠CDE =60º
故∠ADE =45º
由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB="90º"
∴∠AED=45º
∴AD="AE                                       "                  
∴点A在线段DE的垂直平分线上                              ……4分
又CD=CE
∴点C也在线段DE的垂直平分线上                           ……5分
∴AC就是线段DE的垂直平分线
即AC⊥DE
∴AC平分∠EAD
∴∠BAC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BA="BC                                                      " ……6分
（3）解：连接AF，延长BF交AD的延长线于点G
∵∠FBC=30º，∠ABC="90" º
∴∠ABF=60º，∠DCB=75º
∴∠BFC=75º
故BC=BF
由(2)知：BA=BC
∴BA=BF
∴△ABF是等边三角形
∴AB="BF=FA                                                   " ……7分
∴∠BAC="60" º
∴∠DAF="30" º
又∵AD∥BC
∴∠FAG=∠G=30º
∴FG ="FA=" FB                                                 ……8分
又∠DFG=∠CFB
∴△BCF≌△GDF（ASA）                                       ……9分
∴DF=CF
∴="1                                                      " ……10分