Question

10．在△ABC中，已知DE∥BC，△ABC的内切圆与DE、BC分别切于点M、N，BE与CD交于点P，证明：M、N、P三点共线．

Answer 1

分析 如图1，连接MP并延长交BC于M′，根据平行线分线段成比例定理得：$\frac{DM}{ME}=\frac{M′C}{BM′}$，
如图2，连接MN，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OD、OB，证明△ODM∽△BON，得$\frac{DM}{ON}=\frac{OM}{BN}$①，设⊙O的半径为r，则DM•BN=r²，同理ME•NC=r²，得$\frac{DM}{ME}=\frac{NC}{BN}$②，由①②M′C=NC，从而得M、N、P三点共线．

解答 解：如图1，连接MP并延长交BC于M′，
∵BC∥DE，
∴$\frac{DM}{M′C}=\frac{PM}{PM′}=\frac{ME}{BM′}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{M′C}{BM′}$，
如图2，连接MN，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OD、OB，
∵DE∥BC，
∴O在MN上，
∴∠DBO=∠OBN，∠BDO=∠ODM，
∵∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOM+∠BON=90°，
∵M、N分别为切点，
∴ON⊥BC，OM⊥DE，
∴∠BNO=∠OMD=90°，
∴∠BON+∠OBN=90°，
∴∠DOM=∠OBN，
∴△ODM∽△BON，
∴$\frac{DM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
设⊙O的半径为r，则OM=0N=r，
∴DM•BN=r²，
同理得：ME•NC=r²，
∴DM•BN=ME•NC，
∴$\frac{DM}{NC}=\frac{ME}{BN}$，
∴$\frac{DM}{ME}=\frac{NC}{BN}$，
∴$\frac{M′C}{BM′}=\frac{NC}{BN}$，
∴$\frac{M′C}{BC}=\frac{NC}{BC}$，
∴M′C=NC，
∵M′、N、C在同一直线上，
∴M′与N重合，
∴M、N、P三点共线．

点评 本题考查了三角形的内切圆及圆心，要熟知三角形的内切圆的圆心叫内心，是各角平分线的交点；本题证明三点共线，比较抽象；具体作法是：连接两点，证明第三点也在这条直线上；同时运用了平行线分线段成比例定理及三角形相似对应边成比例得出线段相等．