【题目】如图,已知点A(0,4),B(8,0),C(8,4),连接AC,BC得到四边形AOBC,点D在边AC上,连接OD,将边OA沿OD折叠,点A的对应点为点P,若点P到四边形AOBC较长两边的距离之比为1:3,则点P的坐标为__________________.
【答案】(,3)或(
,1)或(2
,﹣2).
【解析】
由已知得出∠A=90°,BC=OA=4,OB=AC=8,分两种情况:
(1)当点P在矩形AOBC的内部时,过P作OB的垂线交OB于F,交AC于E,当PE:PF=1:3时,求出PE=1,PF=3,由折叠的性质得:OP=OA=4,∠OPD=∠A=90°.在Rt△OPF中,由勾股定理求出OF的长,即可得出答案;
②当PE:PF=3:1时,同理得P的坐标;
(2)当点P在矩形AOBC的外部时,此时点P在第四象限,过P作OB的垂线交OB于F,交AC于E,由PF:PE=1:3,则PF:EF=1:2,求出PF=2.在Rt△OPF中,由勾股定理求出OF的长,即可得出答案.
∵点A(0,4),B(8,0),C(8,4),∴BC=OA=4,OB=AC=8,分两种情况:
(1)当点P在矩形AOBC的内部时,过P作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图1所示.
①当PE:PF=1:3时.
∵PE+PF=BC=4,∴PE=1,PF=3,由折叠的性质得:OP=OA=4.在Rt△OPF中,由勾股定理得:OF==
=
,∴P(
,3);
②当PE:PF=3:1时,同理得:P(,1);
(2)当点P在矩形AOBC的外部时,此时点P在第四象限,过P作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图2所示.
∵PF:PE=1:3,则PF:EF=1:2,∴PF=EF=
BC=2,由折叠的性质得:OP=OA=4.在Rt△OA'F中,由勾股定理得:OF=
=2
,∴P(2
,﹣2);
综上所述:点P的坐标为(,3)或(
,1)或(2
,﹣2).
故答案为:(,3)或(
,1)或(2
,﹣2).
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【题目】已知二次函数的图象如图所示,解决下列问题:
关于
的一元二次方程
的解为________;
求此抛物线的解析式;
当
为值时,
;
若直线
与抛物线没有交点,直接写出
的范围.
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【题目】观察下列等式:①1=12;②2+3+4=32;③3+4+5+6+7=52;④4+5+6+7+8+9+10=72;…请根据上述规律判断下列等式正确的是( )
A. 1008+1009+…+3025=20162 B. 1009+1010+…+3026=20172
C. 1009+1010+…+3025=20172 D. 1010+1011+…+3029=20192
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【题目】如图,BC为⊙O的直径,点D在⊙O上,连结BD、CD,过点D的切线AE与CB的延长线交于点A,∠BCD=∠AEO,OE与CD交于点F.
(1)求证:OF∥BD;
(2)当⊙O的半径为10,sin∠ADB=时,求EF的长.
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【题目】如图,AB∥CD,BE和DF相交于点E.
(1)若∠B=110°,∠D=145°,求∠BEF的度数;
(2)猜想∠B,∠D,∠BEF之间的关系,并说明理由.
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【题目】(2016山东省济宁市)如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数
在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于( )
A. 60B. 80C. 30D. 40
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