Question

14．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE=AP=1，PB=3，下列结论：
①△ADP≌△ABE；
②BE⊥DE；
③点B到直线AE的距离为$\sqrt{7}$；
④S_{正方形ABCD}=8+$\sqrt{14}$，
其中正确结论的序号是①，②，④．

Answer 1

分析 ①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；
③由（1）可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$；
④根据勾股定理得到BF，得到AF的长，再利用勾股定理解答即可．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠BAE=∠DAP}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故②正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{7}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即点B到直线AE的距离为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，故③错误，

∵BF=EF=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，AF=EF+AE=$\frac{\sqrt{14}}{2}$+1，
在Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=8+$\sqrt{14}$．
∴S_{正方形ABCD}=8+$\sqrt{14}$，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．

点评 此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．