Question

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+AC=AB；
（2）点C₁从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A₁从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C₁与A₁的运动速度相同，当动点C₁停止运动时，另一动点A₁也随之停止运动．如图2，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于点F₁，过点F₁作F₁E₁⊥A₁C₁，垂足为E₁，请猜想E₁F₁，A₁C₁与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A₁E₁=3，C₁E₁=2时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．
∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF，
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，MB=EF，
∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．

（2）E₁F₁，A₁C₁与AB三者之间的数量关系：E₁F₁+A₁C₁=AB
证明：如图2，连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于点P，F₁Q⊥BC于点Q，
∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，∴E₁F₁=PF₁；同理QF₁=PF₁，∴E₁F₁=PF₁=QF₁，
又∵A₁F₁=A₁F₁，∴Rt△A₁E₁F₁≌Rt△A₁PF₁，
∴A₁E₁=A₁P，
同理Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁，
∴C₁Q=C₁E₁，
由题意：A₁A=C₁C，
∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-C₁C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF₁=QF₁=QB，
∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁，
即2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁，
∴E₁F₁+A₁C₁=AB．

（3）解：设PB=x，则QB=x，
∵A₁E₁=3，QC₁=C₁E₁=2，
Rt△A₁BC₁中，A₁B²+BC₁²=A₁C₁²，
即（3+x）²+（2+x）²=5²，
∴x₁=1，x₂=-6（舍去），
∴PB=1，
∴E₁F₁=1，
又∵A₁C₁=5，
由（2）的结论：E₁F₁+A₁C₁=AB，
∴AB=，
∴BD=．
分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．
（2）连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于点P，F₁Q⊥BC于点Q，证明Rt△A₁E₁F₁≌Rt△A₁PF₁，Rt△QF₁C₁≌Rt△E₁F₁C₁后推出A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁化简为E₁F₁+A₁C₁=AB．
（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E₁F₁+A₁C₁=AB，得出BD=．
点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．