Question

如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．

Answer 1

证明：根据题意，知CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED=∠BFD=90°，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）．
分析：由已知条件“过点C、B作AD及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由AD是中线知BD=CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明△BDF≌△CDE；最后根据全等三角形的对应边相等来证明BF=CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理（在同一平面内，垂直于同一条线段的两条直线平行）证明CE∥BF，然后通过平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠DBF=∠DCE才能构建是全等三角形△BDF≌△CDE．