【题目】如图,抛物线y=x2+mx(m<0)交x轴于O,A两点,顶点为点B.
(1)求△AOB的面积(用含m的代数式表示);
(2)直线y=kx+b(k>0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴于点C.过点C作CE∥AB交x轴于点E.
(ⅰ) 若∠OBA=90°,2<<3,求k的取值范围;
(ⅱ) 求证:DE∥y轴.
【答案】(1)-;(2)(ⅰ)1<k<2;(ⅱ)见解析
【解析】
(1)已知yx2mx,将其化为顶点式,可求得B点坐标,令x2mx=0可求得OA长,即可用m表示出△OAB的面积.
(2)(ⅰ)如图所示,过点B作BF⊥x轴于点F,可证得△EOC∽△AFB,得出,已知,则,(1)中已得出点B的坐标,且∠OBA90°,得△OAB为等腰直角三角形,列出关于m的方程,求得m值,进而求出BF长,得到OC的取值范围,即为直线ykxb与y轴截距的取值范围,由已知求得的点B坐标,代入直线ykxb,即可得出k的取值范围.
(ⅱ)将用m表示的B点坐标代入直线ykxb中,可将b用m,k表示出来,C点坐标可用m,k表示出来,令抛物线解析式与直线BC解析式相等得到交点D的坐标,再求得AB解析式,根据CE∥AB,即可求得直线CE解析式,得到E点坐标,若点D,E的横坐标相同,即可证得DE∥y轴.
(1)yx2mx=
∴点B的坐标为B
由x2mx=0,
得x=0,或x=-m,
∴A(-m,0)
∴OA=-m
∴S△OAB=
(2)(ⅰ)如图所示,过点B作BF⊥x轴于点F
则∠AFB=∠EOC=90°
∵CE∥AB
∴∠OEC=∠FAB
∴△EOC∽△AFB
∴
∵
∴
∵抛物线的顶点坐标为B(,),∠OBA90°
∴△OAB为等腰直角三角形
∴
∵m≠0
∴m=-2
∴B(1,-1)
∴BF=1
∴2<OC<3
∵点C为直线ykxb与y轴交点
∴2<-b<3
∵直线ykxb(k>0)过点B
∴kb=-1
∴-b=k+1
∴2<k+1<3
∴1<k<2
故答案为:1<k<2
(ⅱ)∵直线ykxb(k>0)过点B(,)
∴
∴
∴ykx
∴C(0,)
由x2mxkx,得
x2(m-k)x-=0
△=(m-k)2+4=k2
解得x1,x2,
∵点D不与点B重合
∴点D的横坐标为
设直线AB的表达式为y=px+q,则:
解得
∴直线AB的表达式为y=+
∵直线CE∥AB,且过点C,
∴直线CE的表达式为y=+
当y=0时,x=
∴E(,0)
∴点D,E的横坐标相同
∴DE∥y轴
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【题目】已知网格的小正方形的边长均为1,格点三角形ABC如图所示,请用没有刻度的直尺画出满足条件的图形
(1)在甲图中,画出△,且相似比为2:1,各顶点都在格点上.
(2)在乙图中,把线段AB三等分.
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【题目】问题提出
(1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形;
(2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B、C均在直线l上,AD⊥l且AD=3,∠BAC=60°,求△ABC面积的最小值;
问题解决
(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6m,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.
(1)求作直线EF使得EF交AD于点E,交BC于点F且使得EA=EC,FA=FC(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状,并说明理由.
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【题目】如图,直升飞机在大桥AB上方C点处测得A,B两点的俯角分别为45°和31°.若飞机此时飞行高度CD为1205m,且点A,B,D在同一条直线上,求大桥AB的长.(精确到1m)(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【题目】如图点P为双曲线上一动点.连接OP并延长到点A,使,过点A作x轴的垂线,垂足为B,交双曲线于点C.当时,连接PC,将沿直线PC进行翻折,则翻折后的与四边形BOPC的重叠部分(图中阴影部分)的面积是_______________
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【题目】某工艺品厂生产一种汽车装饰品,每件生产成本为20元,销售价格在30元至80元之间(含30元和80元),销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用(不含生产成本)总计50万元,其销售量y(万个)与销售价格(元/个)的函数关系如图所示.
(1)当30≤x≤60时,求y与x的函数关系式;
(2)求出该厂生产销售这种产品的纯利润w(万元)与销售价格x(元/个)的函数关系式;
(3)销售价格应定为多少元时,获得利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,点A,B,C在反比例函数的图象上,且直线AB经过原点,点C在第二象限上,连接AC并延长交x轴于点D,连接BD,若△BOD的面积为9,则=_____.
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【题目】如图,点在矩形的边上,,,连接,线段绕点旋转,得到线段,以线段为直径做.
(1)请说明点一定在上的理由,
(2)①点在上,为的直径,求证:点到的距离等于线段的长.
②当面积取得最大值时,求半径的长.
(3)当与矩形的边相切时,计算扇形的面积.
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