Question

13．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{17}$、$\sqrt{10}$，求这个三角形的面积．
如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．
请你将△ABC的面积直接填写在横线上3.5．
思维拓展：
（2）已知△ABC三边的长分别为$\sqrt{13}a、2\sqrt{2}a、\sqrt{17}$a（a＞0），求这个三角形的面积．
我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．
类比创新：
（3）若△ABC三边的长分别为$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}，\sqrt{16{m}^{2}+9{n}^{2}}，\sqrt{9{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．
如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理在网格中画出相应的△ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积；
（3）根据勾股定理在网格中画出相应的△ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积．

解答 解：（1）△ABC的面积=2×4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×1×3=3.5，
故答案为：3.5；
（2）如图2，△ABC的面积=3a×4a-$\frac{1}{2}$×3a×2a-$\frac{1}{2}$×a×4a-$\frac{1}{2}$×2a×2a=5a²；
（3）如图3，△ABC的面积=4m×4n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×3m×n-$\frac{1}{2}$×4m×3n=6.5mn．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．