Question

11．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
（4）连接AC，H是抛物线上一动点，过点H作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点F，使得以A，C，H，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标可知OB的长，根据OC=OB，即可得出点C的坐标以及c，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），结合B、O、C点的坐标即可得出BF、OF、OC、EF的长，利用分割图形求面积法即可找出S_{四边形BOCE}关于m的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点P的坐标为（-1，n），过A₁作A₁N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M．分n＞0和n＜0考虑：①当n＞0时，利用相等的边角关系即可证出△A₁NP₁≌△P₁MA（AAS），由此即可得出点A₁的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出n值，由此即可得出点P₁的坐标；②当n＜0时，结合图形找出点A₂的位置，由此即可得出点P₂的坐标．综上即可得出结论；
（4）假设存在，设点F的坐标为（t，0），分点H在x轴上方和下方两种情况考虑，根据平行四边形的性质结合A、C、F点的坐标即可表示出点H的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出t值，从而得出点F的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，C（0，3），
将A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3．
（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m²-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S_{四边形BOCE}=$\frac{1}{2}$BF•EF+$\frac{1}{2}$（OC+EF）•OF，
=$\frac{1}{2}$（m+3）•（-m²-2m+3）+$\frac{1}{2}$（-m²-2m+3+3）•（-a），
=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{63}{8}$．
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为$\frac{63}{8}$，
此时点E的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）设点P的坐标为（-1，n），如图2，过A₁作A₁N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M．
①当n＞0时，∵∠NP₁A₁+∠MP₁A=∠NA₁P₁+∠NP₁A₁=90°，
∴∠NA₁P₁=∠MP₁A，
在△A₁NP₁与△P₁MA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}N{P}_{1}=∠{P}_{1}MA=90°}\\{∠N{A}_{1}{P}_{1}=∠M{P}_{1}A}\\{{P}_{1}{A}_{1}=A{P}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△A₁NP₁≌△P₁MA（AAS），
∴A₁N=P₁M=n，P₁N=AM=2，
∴A₁（n-1，n+2），
将A₁（n-1，n+2）代入y=-x²-2x+3得：n+2=-（x-1）²-2（n-1）+3，
解得：n=1，n=-2（舍去），
此时P₁（-1，1）；
②当n＜0时，要使P₂A=P₂A₂，由图可知A₂点与B点重合，
∵∠AP₂A₂=90°，
∴MP₂=MA=2，
∴P₂（-1，-2），
∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）．
（4）假设存在，设点F的坐标为（t，0），
以A，C，H，F为顶点的平行四边形分两种情况（如图3）：
①当点H在x轴上方时，
∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），
∴H（t-1，3），
∵点H在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴3=-（t-1）²-2（t-1）+3，
解得：t₁=-1，t₂=1（舍去），
此时F（-1，0）；
②当点H在x轴下方时，
∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），
∴H（t+1，-3），
∵点H在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-3=-1（t+1）²-2（t+1）+3，
解得：t₃=-2-$\sqrt{7}$，t₄=-2+$\sqrt{7}$，
此时F（-2-$\sqrt{7}$，0）或（-2+$\sqrt{7}$，0）．
综上可知：存在这样的点F，使得以A，C，H，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，点F的坐标为（-1，0）、（-2-$\sqrt{7}$，0）或（-2+$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分点P的纵坐标大于0和小于0两种情况考虑；（4）分点H在x轴上方和下方考虑．本题属于中档题，（3）（4）难度不小，解决该题型题目时，分类讨论是解题的关键．