【题目】已知抛物线经过点,点,直线,直线,直线经过抛物线的顶点,且与相交于点,直线与轴、轴分别交于点、,若把抛物线上下平移,使抛物线的顶点在直线上(此时抛物线的顶点记为),再把抛物线左右平移,使抛物线的顶点在直线上(此时抛物线的顶点记为).
(1)求抛物线的解析式.
(2)判断以点为圆心,半径长为4的圆与直线的位置关系,并说明理由.
(3)设点、在直线上(点在点的下方),当与相似时,求、的坐标(直接写出结果).
【答案】(1) ;(2)相离,理由详见解析;(3)、或、或、
【解析】
(1)将点A、B的坐标代入即可求出解析式;
(2)求出点N、C的坐标,计算NC的长度即可求解;
(3)分点F在直线下方,上方两种情况求解.
(1)将点A、B的坐标代入,得,
解得: ,
∴抛物线的解析式为;
(2)∵,
∴顶点坐标是(2,2),
将点P的坐标代入直线中,得2k=2,即k=1,
∴直线的解析式是y=x,
设点M(2,m),代入直线的解析式中,得m=-4,
∴点M的坐标是(2,-4),
设点N的坐标是(n,-4),代入的解析式中,得n=-4,
∴点N的坐标是(-4,-4),
同理:D(-2,0),E(0,-2),
联立、得,得,
∴C(-1,-1),
∴OC=,
∴,
∵点C在直线y=x上,
∴∠COE=∠OEC=45°,
∴∠OCE=90°,即NC⊥,
∵NC=
∴以点为圆心,半径长为4的圆与直线相离;
(3)①当点F在直线下方时,
设,
∵点A、B的坐标分别为(0,6),(1,3),
∴AO=6,AB=BO=,
过点B作BL⊥y轴于L,则,,
∴OK=,
∴,
∵等腰△MHF和等腰△OAB相似,
∴∠HFM=∠ABO,则∠KBO=∠OFM=,
∵C(-1,-1),M(2,-4),
∴,, ,
∴,
∴F(-5,-5),
∵FH=FM=,OH=OF+FH=,
∴H(-10,-10);
②当点F在直线上方时,
同理可得点F的坐标为(8,8),点H的坐标为(3,3)或(-10,-10);
综上,、或、或、
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接 AC、OD交于点E.
(1)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切:
(2)在(1)条件下,连接BD交⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.
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【题目】某社区组织“献爱心”捐款活动,并对部分捐款户数进行调查和分组统计,数据整理成如下统计图表(图中信息不完整).
捐款户数分组统计表
组别 | 捐款额(x)元 | 户数 |
A | 1≤x<100 | 2 |
B | 100≤x<200 | 10 |
C | 200≤x<300 | c |
D | 300≤x<400 | d |
E | x≥400 | e |
请结合以上信息解答下列问题:
(1)本次调查的样本容量是______;
(2)d=______,并补全图1;
(3)图2中,“B”所对应扇形的圆心角为______度;
(4)若该社区有500户住户,根据以上信息估计全社区捐款不少于300元的户数是______.
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【题目】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆形木材的直径是多少?”
如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是( )
A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸
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【题目】图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱体铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上). 现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示.①图2中折线ABC表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系(选填“甲”或“乙”);②点B的纵坐标表示的实际意义是___________.
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【题目】已知,抛物线y=ax2﹣4ax+2a(a≠0)
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若抛物线经过点A(m,y1),B(n,y2),其中﹣4<m≤﹣3,2<n≤3,请依据a的取值情况直接写出y1与y2的大小关系;
(3)若矩形CDEF的顶点分别为C(1,2),D(1,﹣4),E(5,﹣4),F(5,2),若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点(包括矩形的顶点),求a的取值范围.
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【题目】某书店在“读书节”之前,图书按标价销售,在“读书节”期间制定了活动计划.
(1)“读书节”之前小明发现:购买5本A图书和8本B图书共花279元,购买10本A图书比购买6本B图书多花162元,请求出A、B图书的标价;
(2)“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进A、B图书共200本,且A图书不少于50本,A、B两种图书进价分别为24元、16元;销售时准备A图书每本降价1.5元,B图书价格不变,那么书店如何进货才能使利润最大?
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【题目】如图,在中,,点、点分别在线段、线段上运动(不包含端点),以为边作平行四边形,点从向运动,速度为每秒个单位长度,点从向运动,速度为每秒个单位长度,两点同时出发,当一个点到达终点时,两点都停止运动,运动时间为秒.
(1)__ , __ _; (用表示)
(2)当平行四边形为菱形时,求出值;
(3)点能否落在线段上?若能,求出
(4)当分别与线段交于两点时,求长度的范围;
(5)平行四边形的面积能否为面积的一半,若能,请求出值,若不能,请说明理由.
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